II) Vitesse et champ de vision

En effet, Flash se déplace à une vitesse proche à celle de la lumière...

Quelle serait le champ visuel de Flash quand il court à une si grande vitesse?

Données et calculs

Pour mener l'étude, on va élaborer un graphique à l'aide de données de l'A.S.N.A.V (Association Nationale pour l'Amélioration de la Vue) pour essayer de modéliser le phénomène du champ de vision en fonction de la vitesse et ainsi trouver le champ visuel de Flash lors de ses déplacements particuliers...

Données:

Angle de vision (en degrés)

100

75

45

30

Vitesse (en km/h)

40

70

100

130

  • Modélisation nº1

 

 

N'ayant pas suffisamment de connaissances pour calculer la droite de régression de y en x par la méthode des moindre carrés, nous la faisons tracer automatiquement par le logiciel. On constate que l'allure est fortement décroissante (voir équation de droite). 

Calcul de la vitesse pour laquelle l'angle de vision en nul.
f(x)=0
-0,8x + 130,5=0
x=163

Supposant que la progression de la fonction est celle d'une fonction affine, à partir de 163 Km/h le champ de vision serait nul.  Ce résultat nous parait invraisemblable vu que les pilotes de Formule1 vont à une vitesse moyenne de 250 km/h dans les compétitions et ils sont capables de voir.

 

  • Modélisation nº2

On peut conjecturer qu'il s'agit d'une fonction homographique. 
Sachant que 3 points suffisent pour déterminer une fonction homographique, nous allons calculer l'équation.

f(40)=100 (40a+b)/(40c+d)=100 40a+b=100(40c+d) 40a+b=4000c+100d   (1)
f(70)=75 <=> (70a+b)/(70c+d)=45 <=> 70a+b=75(70c+d) <=> 70a+b=5250c+75d (2)
f(130)=30 (130a+b)/(130c+d)=30 130a+b=30(130c+d) 130a+b=3500c+30d (3)

 

b=-40a+4000c+100d   (1)
<=> 30a=1250c-25d (2)-(1)=(2')
90a=-100c-70d (3)-(1)=(3')

 

b=-40a+4000c+100d   b=-40a+4000c+100d   (1)
<=> 6a=250c-5d <=> 6a=250c-5d (2')/5=(2'')
0=3850c-5d c=(1/770)d 3*(2')-(3')=(3'')

 

b=-40a+4000c+100d   b=-40a+4000c+100d   (1)
<=> 6a=(250*1/770)d-5d <=> a=(-60/77)d Substitution de (3'') en (2'')
c=(1/770)d c=(1/770)d (3'')

 

b=[(40*60/77)+(4000/770)+100]d   Substitution de (3'') et (2'') en (1)
<=> a=(-60/77)d (2'')
c=(1/770)d (3'')

 

b=(10500/77)d   (1)
<=> a=(-60/77)d (2'')
c=(1/770)d (3'')

Par identification,
f(x)=[(-60/77)dx+(10500/77)d]/[(1/770)dx+d]

f(x)=(-600x+105000)/(x+770)

 

 

Calcul de f(x)=0

f(x)=(-600x+105000)/(x+770)=0
-600x+105000=0
x=175

Si cette fonction représentait le phénomène étudié, ce résultat se traduirait ainsi: "Au delà de 175 km/h, le sujet a un champ de vision nul, autrement dit, il est aveugle." Revenant sur le thème cité auparavant, le record de vitesse à la F1 est de plus de 400 km/h... il est difficile d'imaginer que le pilote concerné ait fait cet exploit privé de vision...

De plus, comme les valeurs qu'on traite sont positives tant pour les abscisses comme pour les ordonnées, 
Df=[0;175] 
donc
Df(x)=[f(0);0]
Df(x)=[136,5;0]

Or,
f(C) ≈ -600   avec C vitesse de la lumière
f(C) ∉ Df(x)

On constate que, pour les vitesses qu'on traite avec Flash, du moins, cette modélisation n'est pas valide: les résultats recherchés sont hors du domaine de définition.

 

  • Modélisation nº3

On peut conjecturer qu'il s'agit d'une fonction d'équation f(x)=a+(b/x²) .
On va procéder de même qu'avec la seconde modélisation, en partant des données de trois points et ensuite procéder par identification.

f(40)=100 <=> a+(b/40²)=100   (1)
f(100)=45 a+(b/100²)=45
(2)

 

<=> a=100-(b/1600)   (1)
(b/10000)-(b/1600)=-55 (2)-(1)=(2')

 

<=> a=100-(b/1600) <=> a=100-(b/1600) (1)
b=2200000/21 b=2200000/21 (2')

 

<=> a=100-(1/1600)*(2200000/21) <=> a=725/21   Substitution de (2') en (1)
b=2200000/21 b=2200000/21 (2')

Par identification,

f(x)=725/21+2200000/21x² 

 

 

Pour calculer l'angle de vision pour des vitesses qui tendent vers l'infinit, comme l'est C (vitesse de la lumière), on va calculer la limite de f(x) quand x tend vers +∞.

| lim 34,5=34,5
| Par somme
lim f(x)=
| x→+∞ | lim f(x) ≈ 34,5
x→+∞ | lim 104762/x²= 0
| x→+∞
| x→+∞ |

On constate ici un phénomène intéressant: pour des vitesses élevées l'angle de vision tend vers 34,5º. Cela expliquerait comment les pilotes de F1 et ceux d'avion peuvent voir, bien que difficilement, lors de leurs déplacements. Cependant, bien que cette fonction peut permettre d'hypothétiser que Flash est bien clairvoyant, on perçoit que cette modélisation indique de même que quand on est immobile on a un champ visuel infinit...

Conclusion

On a expérimenté la complexité de modéliser un phénomène... Cependant, il est bien certain que, quel que soit le modèle, la fonction tendrait très rapidement vers 0 ou bien se stabiliserait en 34,5º. On peut donc conclure, bien que sans une démonstration certaine, que le champ visuel de Flash quand il effectue ses déplacements se verra considérablement réduit, peut-être même jusqu'au point de devenir nul. Néanmoins, on constate que, de point de vue physique, il n'est pas si clair d'introduire la vitesse de la lumière: on fera plutôt appel à un connaisseur du domaine... 

Flash après quelques années...

 

 Est-ce Flash?

 

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